你好，欢迎来到我的概率论课，我是刘嘉。

上一讲，我们学习了概率论的第一块基石——随机。只有弄明白了随机，才能理解我们这一讲要讲的概率论的第二块基石——概率。

这门课的名字叫“概率论”，简单说就是“论概率”，就是对概率的讨论。所以你看，“概率”是不是整个学科最基石的概念？这一讲，我们就把这个基石性的概念一次性说清楚。

“概率”的定义有很多，最经典的就是，柯尔莫哥洛夫于1933年给出的公理化定义。柯老师是现代概率论的奠基人之一，他的定义如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率……

打住，我知道你已经懵了。不过，我不打算用抽象的数学定义给你讲概率，这一讲不会，整门课也不会。形式化定义和公式是数学家的交流语言，可以准确、方便地传递复杂内容，甚至在我看来极具美感。但是，当你对这种语言不熟悉的时候，就很难理解它。

数学不是抽象游戏，而是要解决现实问题。对现实世界的理解和其中孕育的思想，才是数学真正的魅力。所以我给你个方便理解的定义——概率是随机事件发生可能性大小的定量描述。

这个定义有两个关键词，第一个是“随机事件”，第二个是“可能性大小的定量描述”。

先说“可能性大小的定量描述”，什么意思呢？生活里我们说，网坛名将费德勒很厉害，夺冠的概率很大。这肯定没错，但是不精确，很大是多大呢？哎，概率就是用一个数字来描述这个可能性的大小。比如，这一场费德勒赢的概率是80%。这就是一种定量的描述，就能和其他人比大小，我们也就知道谁最可能夺冠了。

回过头，再看刚才说的第一个词——随机事件，在概率论中也简称“事件”。

别被它的名字搞混了。虽然都叫“事件”，但它是个概率论的概念，和我们生活里说的“xx事件”，意义完全不一样。生活里，日本偷袭珍珠港、抗日战争爆发……都叫“事件”，是指一个已经发生的事情。而概率论中说的随机事件是什么呢？咱们看几个例子：

我们问“这一场费德勒赢的概率是多少”，那“这一场费德勒赢球”就是一个随机事件；我们问“下一次掷骰子出现6的概率是多少”，那“下一次掷骰子出现6”就是一个随机事件；我们问“今年村上春树得诺贝尔文学奖的概率是多少”，那“今年村上春树得诺贝尔文学奖”就是一个随机事件。

本质上，随机事件是概率论的一种表述方式。只有符合这种表述方式，我们才能度量它的概率。这是一种怎样的表述方式呢？

任何你关心的事情，只要设定一个条件，从可能性的角度出发，对某一个发生结果进行陈述，就可以转化成随机事件，然后度量概率。这句话很长，限定条件很多，我一一解释。

第一点限定，设定一个条件。

前面的例子，这一场费德勒赢球的“这一场”，下一次掷骰子掷出6的“下一次”，今年村上春树得诺贝尔文学奖的“今年”，都是限定条件。这些是必须的。你不能不加限定地说“人类登上火星的概率”，这就没法计算，而“人类在2050年登上火星的概率”，加上时间设定“2050年”，就可以计算概率了。

第二点限定，从可能性的视角出发。

要么，是这事儿还没发生，比如“明天下雨的概率是多少”，明天还没到，我们只能从可能性的角度提问。要么，是这件事已经发生了，但我还不知道，比如“现在我家地底下有石油的概率”，现在我家地底下有没有石油，这是个客观事实，只是我不知道，也可以预测概率。你看，不管是这件事还没发生，还是单纯的我不知道，只要是我还不确定结果，就可以从可能性的视角提出问题，度量它的概率。

第三个设定，对某个发生结果的陈述。

也就是说，陈述的必须是一个随机结果，而不是不确定性。上一讲说了，随机不等于不确定，概率论能解决随机问题，但不能解决不确定的问题。

只要按照上面三个设定表达——第一，限定一个条件；第二，从可能性的视角出发；第三，对某个发生结果进行陈述，任何事情都可以变成随机事件。再结合刚才“发生可能性大小的定量描述”，我们就明白了概率的第一层意义——概率，是对随机事件发生可能性大小的定量描述。

知道了“概率是对随机事件发生可能性的定量描述”，我们就会面临一个新问题——这种定量描述是怎么来的？

你可能会说，就是那些让人头大的复杂计算呗。没错。但我要告诉你，计算虽然复杂，但它们背后的思路却是一致的，就是计算随机事件在样本空间的比率。

这里又有了一个新概念——样本空间。其实很简单。一件事儿可能发生的所有结果，就是这件事儿的样本空间。在数学上，常常用集合来表示，所以叫“空间”。

比如抛硬币，结果不是正面就是反面，那么“结果是正面”和“结果是反面”就构成了抛硬币这件事的样本空间。再比如，每届世界杯有32支球队参赛，虽然我们不知道谁会夺冠，但夺冠的队伍无外乎就这32支，这32个结果就构成了世界杯冠军这件事的样本空间。是不是很简单？

在集合的定义下，随机事件是样本空间的一个子集，属于样本空间的一部分。拿掷骰子来说，每次掷骰子可能的结果有几个呢？6个嘛，就是1点、2点、3点、4点、5点、6点。这六个结果，就构成了掷骰子这件事的样本空间。不管是像“点数是1”“点数是2”这样单一的不能再分的结果，又称为“基本事件”，还是“点数是偶数”“点数是奇数”这样一组结果的集合，都是样本空间的一个子集，都是样本空间的一部分。

换句话说，随机事件就是样本空间的一个子集；反过来也成立，样本空间里的每一个子集，也都是一个随机事件。现在你明白“随机事件”和“样本空间”的关系了吧？就是子集和全集的关系。

而子集和全集的比率，也就是随机事件占样本空间的比率，就是这个随机事件发生的概率。掷骰子，样本空间是1-6，共六个结果，掷到1点的概率，就是1这个结果在总共六个结果中所占的比例，也就是1/6。正因为是个比率，所以概率是没有单位的，就是一个数。

有了这层含义，我们就能推导出概率的三个性质——

第一，概率永远在0和1之间，不可能是负数。

第二，样本空间里所有基本事件概率之和是1。

样本空间就是所有可能发生的结果的集，它们的概率加一块必然是100%，也就是1。一定不会出现样本空间里所有基本事件的概率之和小于1或者大于1的情况。

第三，某个随机事件不发生的概率，等于1减去这件事发生的概率。

比如，世界杯巴西队夺冠的概率是21%，那巴西队不夺冠的概率就是1-21%=79%。

当然，在数学定义中，概率有一个完整的公理体系，我这里就不一一说了，你了解这三个基本性质就可以了。

到这里，你对概率的理解已经超过90%的人了。但这一讲最后，我还想多说一点：

因为概率是随机事件在样本空间中的比率，所以我们计算概率的前提是什么？当然就是保证样本空间的完备性。也就是说，要找到所有可能发生的结果。如果样本空间压根不完备，那你算出的概率一定是错的。但问题是，样本空间的完备性是一个幽灵。

像每年的“奥斯卡最佳影片奖”，都会从入围的几部电影中评出一部最佳影片。你考虑了所有这几部电影，估算了每部电影得奖的概率，所有概率加起来也恰好是1。你觉得这个样本空间没问题吧？不，问题很大。

比如，万一当年的最佳影片空缺了呢？这不是不可能的。像2018年的诺贝尔文学奖，当年就没有评；2015年度我国国家最高科学技术奖，一等奖也没有评，空缺着。你把“空缺”这个结果放到样本空间中考虑了吗？

再比如，万一当年的最佳影片有并列的呢？这也不是不可能。近20年来，被誉为“中国奥斯卡”的金鸡百花电影节，最佳故事片、最佳男女主角就经常是“双黄蛋”，2部或两人并列。你把“并列”这个结果放到样本空间考虑了吗？

所以，样本空间的完备性就像一个幽灵，很难获得。而如果样本空间不完备，我们计算的概率就会有偏差，决策就会出错。

明白了这一点，你就会理解很多现实问题。比如经济领域中的“黑天鹅事件”，它的本质是什么呢？黑天鹅之所以无法预测，本质就在于我们完全不知道它，它压根不在我们的样本空间里，所以没法计算它的概率。只有它发生过了，我们知道它可能发生了，它才会进入我们的样本空间，它的概率才能被计算。

更深入一点，从某种角度来说，我们对世界的认识，就是对样本空间完备性的认识。原子衰变到底能放出多少种粒子？决定恒星运动的力到底有多少种？影响股票涨跌的因素到底有多少种？每一次突破性的进展，其实都是在完善我们的样本空间。

 划重点

1. 概率是随机事件发生可能性大小的定量描述。

2. 概率是随机事件在样本空间的比率。

3. 样本空间的完备性是一个幽灵。从某种角度来说，我们对世界的认识，就是对样本空间完备性的认识。

最后，给你留一道思考题：

你有没有遇到过决策时忽略了样本空间的完备性，结果导致失败的经历呢？

欢迎留言和我交流。