讲者 | 刘嘉

你好，欢迎来到我的概率论课，我是刘嘉。

上一讲我们从整体上介绍了频率法，知道了当数据无限的时候，频率就将趋于概率。

这给我们认识世界带来了很大的信心。因为我们知道，我们可以用某一件事已经发生的频率，去预测它未来发生的概率了，也就有了通过历史预测未来的可能。

而频率法的基础，正是大数定律。所以这一讲，我就带你详细了解一下大数定律这个概率论中的“黄金定理”。

上一讲说了，雅各布花20年时间证明了大数定律。其实准确地说，他证明的是“弱大数定律”。

什么是弱大数定律呢？就是说，试验的数量越多，频率接近真实概率的可能性越大。注意，这里说的是“可能性”。也就是说，弱大数定律只证明了，随着数据的增加，频率接近概率的可能性越来越大，而不是100%的一定接近。这在数学上有个专业的名词，叫“依概率收敛”。

弱大数定律是一个伟大的证明。雅各布的伟大之处就在于，他找到了对抗局部随机性的办法，用频率构建起了确定的整体概率。通过他的证明我们知道，不管局部怎么随机，整体概率稳定的可能性是非常大的。

但整体概率稳定的可能性很大和一定稳定，还是有些差别的。只有一定、100%的稳定，才是真正的确定性。

一个世纪前，苏联数学家、概率论的先驱柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)在雅各布的基础上，做出了更加严密的证明，也就是“强大数定律”。

他通过计算证明，随着数据越来越多，频率接近概率不仅是可能性越来越大，而是几乎一定。也就是说，随着数据越来越多，频率最终一定会接近真实概率。

到此为止，我们先用弱大数定律找到了整体，又用强大数定律确定了整体一定是稳定的。大数定律又被称为“黄金定理”，它让我们真正能用整体的确定性来对抗局部的随机性。

有了整体的确定性，我们就能用大数定律搞定这个世界了吗？

很遗憾，不是的。

因为大数定律起作用有个限制条件，只有在数据无限的情况下，随机事件发生的频率才等于它的概率。但上一讲说了，无限是个数学概念，现实中哪有什么无限呢？

无论我扔多少次硬币，都是有限次数的；无论我记录了多少次飞行的数据，都是有限次数的；无论我记录了一个球员多少场比赛投篮的命中情况，都是有限次数的。准确地说，现实中所有的事情都是有限的。我们记录的所有频率，都只是局部频率。

问题是，只有数据量足够多的时候，局部频率才会接近真实概率。当数据量很少的时候，一件事发生的频率可能和它的真实概率相差很大。

举个例子吧。英国和法国曾经共同研制了一款超音速客机，叫“协和式客机”，1976年投入使用，从巴黎飞到纽约只需要3小时20分钟，比普通民航客机节省超过一半的时间。

协和式客机不仅拥有当时最高级别的安全设计，还有当时最高级别的安全保障，所以在长达24年的飞行中，它没有发生过一起致死事故，一度被认为是世界最安全的飞机。直到2000年7月25日，协和式客机出现了一次坠机事故。

截止那个时候，协和式客机总共飞行了八万多次，因为这次坠机事故，它的致死事故率立即从24年来的0上升到了八万分之一，也就是每百万次飞行失事12次。而作为对比，波音737的飞行超过一亿次，它的致死事故率只有百万分之0.4，只有协和式客机的1/30。

这是协和式客机唯一一次重大事故。但因为这次事故，它一下子从世界上最安全的飞机变成了最危险的。仅仅三年之后，协和式客机就停飞了。

你说波音737真的比协和式客机安全30倍吗？

不一定。因为协和式客机的飞行数据太少了，只有区区八万次，它出事故的频率和真实的事故率之间，可能有很大的误差。

而这个误差到底有多大呢？那次失事是意外，还是飞机的设计真的有缺陷？八万分之一的致死事故率到底比真实概率大，还是比真实概率小？这些我们都无法知道，因为没办法让协和式飞机再飞一亿次了。

我们只知道，当数据有限的时候，局部频率和整体概率之间是有误差的。只有随着数据量的增加，局部频率才会越来越接近于整体概率。大数定律就像一根绳索，用整体的确定性约束着局部的随机性，随着数据的增加把频率这个口袋越勒越紧。

这种整体对局部的约束作用，是怎么进行的呢？

很多人会有一种朴素的想法，叫作“补偿思维”。举个例子，当硬币连续抛了10次都是正面朝上后，很多人就认为，下一次反面朝上的概率肯定得更高一些。因为只有这样才能补偿不平衡的状况，要不然怎么保证最终硬币正面朝上的概率还是50%呢？

看起来很合理，但我要告诉你的是，这种思维是错的。整体不需要通过补偿来对局部产生作用，大数定律并不通过补偿来实现。

还是刚才的例子，假如抛硬币前10次都是正面，那想让正面朝上的概率稳定在50%，后面是不是得抛出更多的反面来补偿呢？不需要。

比如，我们再抛1000次，假设500次正面，500次反面，没有补偿吧？现在正面的频率是多少呢？510除以1010，下降成了50.50%了。抛10000次，假设5000次朝上，5000次朝下，还是没有补偿，这时候正面朝上的频率，就变成了50.05%，非常接近于50%了。

打个比方，把一勺糖放在一杯水里，你会觉得很甜，可是放到大海里呢？海水的味道几乎不会有任何改变。我们并没有把糖从大海里取出来，糖仍然在，只是大海里的水太多了，一勺糖对它的影响就被削弱，小到可以忽略不计了。就像网上被大家吐槽的，五块钱的玛莎拉蒂跑车的优惠券，优惠五块钱，对买玛莎拉蒂跑车没影响呀。

明白了吧？大数定律不会对已经发生的情况进行补偿，而是利用大量的正常数据，削弱那部分异常数据的影响。正常数据越多，异常数据的影响就越小，直到小到可以忽略不计。

可问题是，我们怎么保证未来一定有大量的正常数据呢？换句话说，整体的确定性到底是如何保证的呢？

这就要涉及到另一个词——均值回归。

均值回归的意思是说，如果一个数据和它的正常状态偏差很大，那么它向正常状态回归的概率就会变大。现实中，均值回归的例子很多。比如，身高特别高的人，孩子往往不如他高；连续几年超高收益率的基金经理，后几年往往神奇不在……怎么理解这种现象呢？

其实，均值回归更准确的叫法应该是“趋均值回归”，趋向均值的方向回归。所以它产生作用的对象，是那些特殊的、异常的、极端的数据。这些异常的状态是没法长期持续的，所以回归正常值的概率会变大。不过，至于是比正常值稍微高一些，还是稍微低一些，都有可能，完全是随机的。

比如，一个同学正常的数学水平是80分，这次超水平发挥考了100分，下一场考试，他大概率考不到100分，但可能考90分，可能考80分，也可能考70分。这些都比100分正常，都更接近他的真实水平，所以都是均值回归。而不是说上次考100分，这次只能考60分、50分来补偿上次的高分。

总之，大数定律不需要补偿，而是通过均值回归，通过产生大量的正常数据，削弱之前异常数据的影响。

明白了这个道理，再去审视我们的生活，很多现象就好理解了。比如我们经常会说一些俗语，运气不好的时候，会说“三十年河东，三十年河西”；打牌或者玩游戏连着输的时候，会说“否极泰来”。怎么理解这些话呢？

严格地说，都有一定的道理，但又都不全对。

为什么说有一定的道理呢？因为它们蕴含了朴素的概率思维，知道在大多数情况下，不正常的状态难以持续。正常情况下，谁的运气也不可能一直坏嘛。

为什么说它们不全对呢？因为不管是“三十年河东，三十年河西”，还是“否极泰来”，背后都蕴含着刚才我们说的补偿思维，认为三十年河东后，之后三十年一定河西；“否极”后一定会“泰来”，一定有好运气。

而我们现在知道，大数定律不需要通过补偿来实现。极度的坏运气过后不一定就有好运气，而是通过均值回归，让运气回到不那么坏的正常状态。所以更准确的说法应该是，“否极”后，可能“泰来”，也可能是回到运气不好不坏的状态，都有可能。

说完了频率，学会了计算概率，我们就能清晰的衡量一件事的价值，从而做出科学决策了吗？这个问题，我们下一讲再说。

我是刘嘉，我们下一讲再见。