作者 |  刘嘉

你好，欢迎来到我的概率论课。我是刘嘉。

前面四讲，我们学习了概率论这座大厦的四块基石，也明白了概率论解决问题的核心思路——把局部的随机性转化为整体上的确定性。要实现这个转化，靠的是什么呢？当然就是“概率”。当一件事的概率确定了，它在整体上发生的可能性就确定了。

这一讲，我们就来看看整体的确定性是如何建立的。换句话说，我们是如何度量概率的呢？

简单来说，常用的度量概率的方法有三种——定义法、频率法、迭代法。

为什么会有三种方法呢？一种方法难道不好吗？其实，这三种方法是伴随着概率论的发展逐步出现的。最开始是定义法，后来又出现了频率法和迭代法。除了定义法现在用得比较少了之外，频率法和迭代法到现在还在大量使用。

学习了这一讲，你不仅能了解概率论的发展脉络，还会更深入地理解概率论“把局部的随机性，转化为整体上的确定性”这个解决问题的核心思路。下面我们一个一个说。

听名字就知道，定义法就是直接定义，直接认为某件事不同结果出现的可能性是相等的，没有任何一个结果比其他结果更有可能发生。

比如定义法认为，抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相等，都是50%；一个标准的骰子，抛出每个点数的概率也相等，都是1/6。这些概率，都是我们直接定义的。

现实生活中，我们也经常这样设定。比如，选择题4选1，我们认为随便选一个，蒙对的概率是1/4。这里就有一个人为的设定，就是认为“每个选项正确的概率都是一样的”。再比如，我要去跑马拉松，要么坚持下来到达终点，要么中途放弃。跑之前，我说跑完或者放弃的可能性“一半对一半”，这也是一种等可能性的设定。

你可能会说，怎么能随便定义呢？这不靠谱吧？

确实，从现在的视角来看，定义法是有很多不靠谱的地方。这是概率论这个学科刚刚起步的时候，我们对概率的认知局限所导致的。你可能听过“古典概率”这个说法，古典概率就是这样一种等可能性的概率定义法。

不过我想说的是，虽然定义法简单粗暴，但是在宏观尺度上，它是一种对现实世界的合理简化，还是有一定科学性的。

你看，我们用定义法确定抛硬币、掷骰子的概率，几百年了，还是挺准的。全是蒙对的吗？当然不是。定义法这种等概率假设，是基于宏观世界的对称性这个大前提的。

对称性，是世界的普遍规律。雪花是对称的，花瓣是对称的，单摆小球的轨迹是对称的，连行星运行的轨迹很多也是对称的，甚至在微观粒子运动和相互作用中，也会体现对称性。对称，是自然最完美的展现。

一枚理想的硬币，在几何形状上是对称的，密度是均匀的。当硬币抛起来的时候，作用于硬币上的力也是对称的，重力、摩擦力、大气压力等都是对称的……所以我们当然就假设，硬币正反面出现的概率也是对称的，一半一半，各50%。你看，用定义法进行等概率假设，是不是有一定的科学性？

那我为什么又说这是合理的简化呢？

刚才说了，影响硬币在空中的状态的因素太多了。硬币的密度、形状、出手的角度、空气的密度、当时的风向等，都有影响，完全搞清楚是非常困难的。但是一方面，可能这些因素的影响很小；另一方面，各个因素的影响又会互相抵消。所以我们就全部忽略这些，把它简化成没有其他因素影响的理想状态。这不就是一个合理的简化吗？

连著名的经济学家凯恩斯在他的《概率论》一书中，都专门给这种定义法取了个名字，叫“无差别原理”。也就是说，如果没有充分理由说明某件事的概率，就给予每个结果相同的概率。这个原理在科学、统计学、经济学、哲学、心理学中的应用，持续了很长时间。

虽然定义法好用，但随着概率论要处理的事情越来越多，慢慢的我们就发现，在很多事情上，多个结果出现的概率是不相等的。比如，一个人患肺癌的概率、一批产品的次品率、我们考试通过的概率……即便不知道到底是多少，我们也知道，假设概率“一半对一半”是很荒谬的。怎么办呢？

随着数学家对概率研究的深入，我们就有了第二种度量概率的方法——频率法。

频率法就是说，只要数据量足够大，一个随机事件发生的频率就会无限接近它发生的概率。换句话说，虽然每次结果都是随机的，但随着这件事重复的做，只要重复足够多次，隐含的规律就会慢慢浮现出来。

拿掷骰子来说吧，现实中我们当然没法找到一个数学意义上六个面完全均匀的骰子，所以严格的说，它各个点数出现的概率肯定就不相等。这时候，定义法就失效了。怎么办？

用频率法。我们可以反复掷骰子，比如掷1000次，点数6出现的次数达到了500次，也就是说，点数6出现的概率大约是1/2。这和定义法的1/6差得实在太远，所以我们就能做出推测——这个骰子很可能被做过手脚。

现实的概率度量也是类似。比如投篮命中的概率、肺癌患病的概率等，只要找到足够多的数据，我们用投篮命中的数量除以总投篮的次数，用患肺癌的人数除以样本的总人数，计算出来的频率，我们就认为它大概就是这件事发生的概率。

这种依靠大量数据获得真相的思路，是现代统计学的基础，广泛地应用在各个学科之中。这个我们会在第二模块、第三模块详细讲到。

有频率法就行了吗？不行。当我们用概率解决生活问题的时候，发现还是有些事情解决不了。

首先，有些事是没法试的。

比如，美国说要在2050年登上火星，你觉得概率有多大？这可没法反复做试验。再比如，你向某个女生表白，成功的概率有多大？也不能表白个500次，计算一下成功的次数吧？

其次，很多事不断发展，它的概率是不断变化的。

比如费德勒和纳达尔的比赛，费德勒获胜的概率有多大呢？随着比赛的进行，场上局势的变化，这个概率也是不断变化的。

而且，很多问题还和个体的差异有关。

比如同样一道4选1的选择题，不同人答对的概率是一样的吗？当然不是。有些人只能靠蒙，可能他答对的概率就是1/4；而他隔壁桌的那个学霸，答对的概率可能是99%，甚至是100%。

类似的问题还有很多。或者是数据量不足，或者是概率本身不断变化，或者是和个体密切相关，这些事情的概率都没有办法通过反复试验、收集数据来预测。怎么办？

想办法解决问题嘛。于是，数学家很快就有了第三种概率度量的方式——迭代法。

迭代法就是说，先利用手头少量的数据做推测，甚至是主观猜测一件事儿的概率，然后再通过收集来的新数据，不断调整对这件事概率的估算。最常用的方法就叫作“贝叶斯”。

有了迭代法，刚才说的没法解决的问题，概率就都可以度量了。比如，虽然没法通过反复试验判断美国2050年登上火星的概率，但是我可以先给一个假设，比如就是定义法中的1/2吧。然后，我不断收集新的数据和证据，比如美国登陆火星的计划的公开、核心技术的发展状况、美国太空总署的经费变化、火星登陆的新闻报道等，来调整之前的预测。

这种不断迭代和调整的方法，就是我们说的迭代法。具体的内容，我们会在课程的第四模块详细讲到。

讲完了概率度量的三种方法，你会发现，它们其实是从不同的视角来度量概率的——

定义法，是通过自然世界的对称性来定义概率；

频率法，是用随机事件发生的频率来计算概率；

而迭代法，是用一种动态发展的、考虑个人差异的角度来度量概率。

通过对这三种方法的学习，你应该也能看出来，跟所有的科学研究一样，人们对概率的研究也是不断深入的。

不过要提醒你的一点是，这三种方法并不是泾渭分明的，它们经常融合着使用。频率法可以验证定义法的正确性；迭代法也可以用定义法或者频率法来获得最初的判断；频率法和迭代法，又可以同时使用，相互验证。

打个比方来说，这三种方法，就好比工具箱里的三把尺子，共同对概率进行度量。这也是概率论和很多学科不一样的地方。它不是新方法推翻旧方法，而是一种方法为另一种方法提供其他维度的辅助。