你好，欢迎来到我的概率论课，我是刘嘉。

上一讲，我们学习了概率论的第三块基石——独立性。知道了事件的独立性是概率论中，定义随机事件相互关系的一个重要概念。只有弄清楚了随机事件的关系，我们才能正确计算它们的概率。

这一讲，我们就重点说说概率论的最后一块基石——概率计算，也就是如何计算概率。

任何一个现实问题，我们都不仅要定性的了解，还要定量的描述。而概率计算，就是解决定量问题的。如果没有概率计算，我们对这件事的认识就只能停留在模模糊糊的直觉层面，很容易出错。

常见的概率计算题都是什么样的呢？稍有了解的人都知道，它们非常折磨人。比如，“从一副扑克中有放回的一张张抽取，求在第6张得到全部4种花色的概率”；还有类似什么“箱子里装有号码1-N的球，有放回的或者无放回的摸n次球，问正好是严格上升次序排列的概率是多少”……

我知道，听到这种题目，你只想静静。不过好消息是，我不打算讲这些。其实，概率计算没那么难。这一讲，我就抛开那些复杂的问题，跟你讲一讲概率计算的本质。

再复杂的概率问题，也都是基于三个计算法则的。哪三个法则呢？

第一个，我称之为“排列组合法则”；

第二个，是“加法法则”；

第三个，是“乘法法则”。

相信我，只涉及加减乘除四则运算，你一定能听得懂。

排列组合法则适用于结果有限，而且每种结果都是等可能性的情况。

计算方式很简单，就是这个随机事件出现的次数除以所有可能的结果的个数。比如掷骰子出现2的概率是多少，掷骰子可能的结果是1到6，共6个可能，2是其中1个结果，所以概率就是1除以6，就是1/6。是不是很简单？

不过要注意的是，我刚才说的是“随机事件出现的次数除以所有可能的结果的个数”，是“所有可能的结果”。

为什么要强调这个呢？我给你举个例子。如果生男生女是等概率的，朋友家先后要了两个小孩，请问都是男孩的概率是多少呢？

按刚才说的，列出所有结果，所有结果是几种呢？是“全是男孩、全是女孩、一男一女”这三种吗？不是的。正确的结果其实是四种——男男、男女、女男、女女，所以两个都是男孩的概率不是1/3，而是1/4。

“先有个男孩再有个女孩”和“先有个女孩再有个男孩”，虽然都是一男一女，但它们不一样，它是两种结果。排列组合排列组合，就是“排列”和“组合”，排列是要分先后顺序的，所以这个法则也要分先后。

其实，大部分这类的概率问题，考的都不是你的计算能力，而是排列组合的能力，看你能不能把所有的情况都排出来。

刚才说了，排列组合法则有个适用范围，就是针对等可能性的概率问题。如果不是等可能性的概率问题怎么办呢？比如糖尿病的发病率，或者高考上清华大学的概率，这些怎么计算呢？

也简单，用这个随机事件出现的次数，除以样本的总量，就能计算出了。你看，其实和排列组合法则的逻辑一样，都是用随机事件出现的次数，除以所有可能的结果的个数。

如果说排列组合法则是针对单个随机事件的概率计算，加法法则针对的就是多个随机事件。以两个随机事件为例，一个随机事件发生或者另一个随机事件发生的概率，也就是这两个随机事件发生其一的概率，等于两个随机事件各自发生概率的和。三个随机事件，就是三个概率之和；四个随机事件，就是四个概率之和。这就是加法法则。

比如，开赛前专业分析师预测，费德勒获得冠军的概率是20%，获得亚军的概率是15%，那费德勒闯入决赛的概率，就是获得冠军的概率，加上获得亚军的概率，20%+15%=35%。

不过，加法法则也有个限定条件，就是这两个随机事件不能同时发生，我们也称之为“互斥”。拿刚才的例子来说，费德勒夺冠和获得第二名不能同时发生，你不能说他既获得了冠军又获得了亚军。只有这样的随机事件，才能直接用加法法则。

举个反例。天气预报说，周六下雨的概率是50%，周日下雨的概率是60%，那周末两天有降雨的概率是多少呢？是周六下雨的概率直接加上周日下雨的概率吗？一加结果是110%，超过1了。前面说了，概率一定在0和1之间，不可能大于1，所以这么算肯定不对。到底哪里错了呢？

可能你已经发现了，周六下雨和周日下雨并不互斥，周六下雨了，周日也可以下雨，它们可以同时发生。也就是说，还存在 “周六和周日都下雨”的情况，所以不能直接用加法法则。那怎么办呢？用加法法则得出的结果减去周六周日都下雨的概率就好了。

和加法法则一样，乘法法则也是针对多个随机事件的概率计算。以两个随机事件为例，加法法则是两个随机事件发生其一的概率，将两个随机事件各自发生的概率相加。而乘法法则是两个独立事件同时发生的概率，将两个随机事件各自发生的概率相乘就行了。

比如，问“木村拓哉和金城武一起向你表白的概率是多少”，就用乘法法则，等于木村拓哉向你表白的概率乘以金城武向你表白的概率。

不过，乘法法则也有个限定条件，得是独立事件。如果是独立事件，彼此互不影响，可以直接使用乘法法则。如果是非独立事件，那就不能直接乘了，而是要对乘法法则做个变形。具体怎么变，我们后面讲条件概率时会详细解释。

概率计算是不是很简单？是不是只需要加减乘除四则运算就可以？正因为概率计算简单，所以概率论考试的时候，老师只能把题目描述得非常复杂。什么“或”“同时”“有放回”“无放回”，一字之差，结果就天壤之别。

大部分人不会做概率题，不是他不会计算，而是他没看明白题目。也许打败他的不是数学，而是语文。真正搞懂题目的意思，才是概率论考试的重点。

概率老师这么做是为啥呢？是为了故意把学生卡住，不让他毕业吗？当然不是。这其实是一种思维方式的训练。让学生在复杂的题目中，寻找“或”，寻找“同时”，辨析互斥，辨析独立，计算和分辨各种复杂的排列组合，从而学会把考卷上的题目翻译成一个概率问题。

要知道，我们在实际生活中遇到的概率问题，可远比加减乘除困难，甚至比考卷上设定的题目更难。现实中我们不会计算概率，往往就是因为不会把一个现实问题，准确地翻译成“对”的概率问题。结果就好像我们有很多把钥匙，却总是拿它们开错的锁一样，当然打不开。

举个例子，看到飞机失事的新闻后，有些人常常开玩笑地说，“从概率的角度，下一班飞机更安全。因为如果飞机失事的概率是百万分之一，那么飞机连续两次失事的概率就是百万分之一乘以百万分之一，也就是万亿分之一。”

你可能要笑了，这就是典型的“赌徒谬误”嘛。一般人认为，赌徒谬误产生的原因是人们没弄懂独立事件。但我要告诉你的是，即便弄懂了独立性，知道两个航班互相独立，很多人还是会算错，因为这些人对现实问题“翻译得不对”。他们混淆了“飞机失事两次的概率”和“飞机再次失事的概率”。注意，这两个看似差不多的表述差别是很大的。

“一个事件发生两次的概率”是什么？简单地说，是你准备扔两次硬币，注意，还没扔哦，问两次都是正面的概率是多少呢？用乘法法则，1/2乘以1/2，结果是1/4。换到飞机失事的例子中，飞机连续失事的概率，注意，现在飞机还没有失事哦，就是飞机失事的概率相乘，确实可能是万亿分之一。

而“一件事再次发生的概率”呢？是已经扔一次硬币，正面朝上，问下一次还是正面的概率是多少？我们知道，抛硬币是独立事件，再次发生的概率不受前面结果的影响，结果自然还是1/2。换到飞机失事的例子，一架飞机失事后，注意，这架飞机已经失事了哦，那再次失事的概率，就是普通飞机失事的概率，还是百万分之一 。

你看，对现实问题的翻译不同，概率计算的方式就不一样。我们说的是“再一次飞机失事的概率”，但你计算的是“连续两次飞机失事的概率”，当然不能反映现实问题，必然会出错。

正确翻译现实问题，是概率计算最复杂的地方。概率思维的核心，就是准确地将现实问题转换成对的概率问题。这也是这门课要重点带给你的。