你好，欢迎来到我的概率论课，我是刘嘉。

了解了概率论中随机和概率这两个基石之后，这一讲，我们学习概率论的第三个基石性概念——独立性。

这个概念很重要，因为它描述的是随机事件之间的相互关系。只有明白了一个随机事件和其他随机事件的关系，判断它们之间是否具有独立性，才能正确分析和度量它的概率。

什么是“独立性”呢？

通俗地讲，如果随机事件之间没有任何关联，我们就可以说这些随机事件是相互独立的，它们之间就具备独立性。而这种具备独立性的随机事件，也被称为“独立事件”。

好像有点儿抽象，举个例子你就明白了。

比如，今天晚上你想吃火锅，可是你女朋友想减肥，她提议吃蔬菜沙拉，然后你们抛硬币决定，正面就吃火锅，反面就吃沙拉。第一次，你抛了正面，你女朋友说没开始呢，让你再抛；第二次，你又抛了正面，你女朋友说这只是试试，不算。

也许是冥冥之中火锅店老板庇佑，你连续抛了5次都是正面。你女朋友惊呆了，她说，最后一次，再抛个正面我们就去吃火锅，如果是反面，你还得陪我吃沙拉。

问题来了，今天晚上你们到底更可能吃火锅呢？还是更可能吃沙拉呢？也就是问，第6次抛硬币，结果是正面的概率是多少呢？

你可能觉得，都连着扔了5次正面了，这一次硬币出现正面的概率肯定更小，出现反面的概率更大了。这个判断对吗？不对。这就是我们常听到的“赌徒谬误”。

当然，你也可能会逆向思维，知道既然前5次都是正面，下一次很可能继续是正面。这个判断对不对呢？抱歉，也不对，这就犯了另一个错误，叫“热手谬误”。

概率更大也不对、更小也不对，那正确答案是什么呢？我来告诉你吧——第6次抛硬币，结果是正面的概率还是1/2。

第6次抛硬币跟前面几次抛硬币是相互独立的，不管前5次结果怎样，第6次出现正面的概率都还是1/2。这一次抛硬币的结果，不会影响下一次的结果。这就是独立性。抛硬币是一个典型的独立事件。

两个随机事件相互独立，在概率论中说的就是，一个随机事件的发生，不影响另一个随机事件发生的概率。也就是说，下一个随机事件发生的可能性，不会被上一个随机事件所影响。这就是随机事件之间的独立性。而如果两个随机事件之间有影响，那它们之间就是非独立的。

要么具有独立性，要么具有非独立性，概率论研究的所有对象——随机事件之间，只有这两种关系。

到这里你可能会问，知道独立性的定义干嘛？辨别随机事件的独立性有什么意义吗？

为了说明独立性的作用，我们再举个例子。我和我女儿猜拳，前面的课程里说过，我女儿是一个非常差的随机制造者，我发现她每次出石头之后，下一次一定出布。她以为自己每次出拳都是随机的，而我早就发现了这个规律，并且总是靠这个规律赢她。

这个规律代表什么呢？其实，用概率论的语言表达就是——我女儿上一次出拳的结果，影响了下一次出拳。当她上一次出了石头，下一次出拳就不再是石头、剪刀、布各1/3的概率了，而是变成了出布的概率是100%。你看，两次出拳并不具备独立性，而是相互联系、互相影响的。

这种会产生相互影响的随机事件，也叫“非独立事件”。因为我女儿前后两次猜拳之间相互影响的规律被我发现了，我就可以通过猜拳使唤她做很多事情。

你看，原本互相独立的事件，当你发现它们之间有关系的时候，对概率的估计、决策的方式都会发生很大的改变。

换个角度，我女儿有没有什么对付我的办法呢？如果恰好学习了这一讲，她就会知道，最简单的方法就是打破自己出拳的规律，让每次出拳的结果不会相互影响。这样她每次出拳的结果又是独立事件了，我就拿她没办法了。

当然，我希望她不要那么快想到这个办法。

听起来挺简单的，但是在现实中，我们真能这么轻松的辨别独立事件吗？事实上，识别随机事件的独立性是非常困难的。

给你说个故事，真事儿。2013年，英国德比郡一个叫约翰的人，在超市买了一小盒鸡蛋，共6个。磕开第1个，约翰惊喜地发现这是一个双黄蛋。这是他有生以来第一次碰到双黄蛋。接着他又磕开了第2个，又是双黄蛋。更神奇的是，约翰接下来又连续磕开3个，都是双黄蛋。他欣喜若狂，一不小心把最后一个鸡蛋摔在了地上。见证奇迹的时候到了，这还是一个双黄蛋。

约翰一下买到6个双黄蛋的奇闻，被媒体争相报道。英国有机构的数据显示：母鸡平均每下1000个鸡蛋，才会出现1个双黄蛋，也就是说，双黄蛋的概率是1/1000。那么，一盒里6个都是双黄蛋的概率是多少呢？

如果我们假设，盒子里这个鸡蛋是双黄蛋和那个鸡蛋是双黄蛋，是完全的独立事件，两者毫无关系。那么连续6个都是双黄蛋的概率，就是每个鸡蛋是双黄蛋的概率的乘积，就是1/1000的六次方，也就是10的18次方分之一。

10的18次方分之一意味着什么呢？假如你每秒磕开6个鸡蛋，现在让你每秒6个、每秒6个的磕，要磕多久才能保证，在某一秒里6个鸡蛋都是双黄蛋的情况，至少出现一次呢？大约317亿年。要知道，宇宙从大爆炸到现在也就是138亿年。这个时间是宇宙年龄的两倍多。

你说，这是多么罕见的事情啊。那这个约翰是不是史上最幸运的人呢？还真不是。因为约翰并不是宇宙诞生以来连续磕出6个双黄蛋的第一人。就在3年前，在英国另一个地方，还发生过一次几乎一模一样的事情。

按说，理论计算不应该和事实有如此大的差别。这不禁让我们困惑，问题出在哪儿呢？会不会是这么计算有问题呢？

还记得这种计算方式的前提吗？对，就是我们一开始的那个假设——同一个盒子里，这个鸡蛋是双黄蛋，和另一个鸡蛋是双黄蛋，是独立事件。也许这个假设是错的。

首先就有专家提出质疑，母鸡下双黄蛋的概率受自身年龄的影响。越年轻的母鸡，下双黄蛋的概率越大。一只刚开始下蛋的母鸡，下双黄蛋的概率要远远高于1/1000。而在现代化的农场里，母鸡是分批次养殖的。同一批母鸡，会在相同的时间长大、开始产蛋。所以如果恰好买到这批年轻母鸡下的蛋，出现双黄蛋的概率就要大得多。

另一方面，我们都知道，鸡蛋大小不同，往往售价不同。所以无论是工作人员，还是自动化机器，在分拣包装鸡蛋时，往往会区分大小，把大个儿的放在一个盒子里。这样，只要盒子里第一个放进去的是大个儿的鸡蛋，后面几个也放大个儿鸡蛋的概率就会大大增加。而双黄蛋普遍比一般鸡蛋个头大，在芸芸众蛋中十分显眼，所以被捡到一个盒子里的概率就会大幅度提升。

你看，很多我们以为的独立事件，也许并不具有独立性。像这个鸡蛋是双黄蛋和那个鸡蛋是双黄蛋，这样两个看起来毫不相关的事件，都因为鸡蛋个头的大小，被扯上了千丝万缕的联系。

现在你明白了吗？独立事件，只是我们描述某些随机事件的数学模型罢了。

这种数学模型，可能真的是因为这些随机事件之间没有关系，不互相影响；也可能是因为一些随机事件存在内在联系，但我们并不知道；还有一种可能就是，假设这些随机事件之间相互独立，可以简化我们对概率的计算。

但不管怎样，在现实生活中，判断随机事件是否独立时要格外小心。很多情况下，如果错把互相影响的事件当成了独立事件，就会得出离真相很远的答案。

回到最开始男女朋友抛硬币决定吃火锅还是沙拉的例子。如果男朋友抛了100次都是正面，你觉得下一次会是正面还是反面呢？概率还都是1/2吗？

不。这时候，你就不应该还假设两次抛硬币是互不影响的独立事件了，而是要检查男朋友抛的那个硬币是不是有问题。