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作者 | 刘嘉
你好，欢迎来到我的概率论课。我是刘嘉。
上一模块，我们重点讲了概率论的四块基石——随机、概率、独立性和概率计算，也了解了概率度量的三种方式——定义法、频率法和迭代法。现在，我们对概率论这座大厦已经有了基本的认知。
从这一讲开始，我们进入课程的第二模块，我会详细讲讲上面度量概率的第二种方法——频率法，也就是利用频率度量概率。
频率法非常重要，不仅囊括了概率论中最重要的结论，还是现代统计学的基础，所以请认真学习这一讲。
概率就是对发生频率的计算
关于频率法，前面讲度量概率的三种方法的时候大概讲过，我再带你复习一遍。
要理解频率法，我们得先理解“频率”这个词。这很好理解。频率，就是某个随机事件在整体事件中出现的比例。一个随机事件出现的次数除以整体事件的次数，得到的值就是这个随机事件发生的频率。
频率法就认为，在有足够多的数据的情况下，随机事件发生的频率会无限接近它真实的概率。
比如，很多人认为飞机是一种危险的交通工具，到底有多危险呢？衡量飞机的危险性，最直接的方法就是计算失事率嘛。我们用过去这么多年飞机失事的次数，除以飞机总的飞行次数，得出的就是飞机失事的频率。频率法认为，这个飞机失事的频率，就是未来飞机失事的概率。
再比如，要预测江苏考生明年高考考上清华大学的概率。我们把历史的数据收集来，对于每一年来说，用清华大学在江苏省的录取人数，除以那一年整个江苏省的考生人数，就是那一年的录取率。把最近几年的录取率平均一下，就可以大致得出一名江苏考生明年高考考上清华的概率。
总之，在频率法的眼中，概率是可以靠随机事件发生的频率来计算出的。
进一步说，频率法理解这个世界的底层逻辑是，一个随机事件的发生，是存在一个真实的、客观的概率的。只要我们做的试验足够多，或者掌握的数据足够多，计算出来随机事件发生的频率，就是可以无限接近这个真实的、客观的概率。
频率法在试验上被验证
说起来似乎很好理解，就是当数据足够多时，一件事发生的概率可以用它发生的频率来度量。但不知道你有没有这样的疑问：概率和频率压根不是一个东西，完完全全的俩概念。我们用频率来度量概率，真的靠谱吗？
好问题。我们不妨做试验检验一下。把定义法中常见的抛硬币的例子放到频率法中，去检验一下频率法是否真的可行。
我们知道，在定义法中，硬币正面朝上的概率是50%。假设现在我们不知道50%这个事情，我就抛硬币，正面朝上的频率是不是真的也是50%呢？
要不，你跟着我一起抛硬币试试？
我抛一次，结果正面朝上。正面朝上的次数除以抛硬币的总次数，结果是100%，和50%差得太远了。这样可以吗？好像不行。这就是单独的一次随机事件，好像还谈不上频率，频率总要多抛几次。
那我们来抛10次。我刚刚抛出7次正面、3次反面，正面朝上的频率是70%，那正面出现的概率就是70%吗？这离50%还是差得有点远。能用抛了10次的这个频率，来度量硬币正面朝上的概率吗？看来还是不行。不过好像和只抛一次相比，离50%近一些了。要不我们再多抛几次？
其实，不用我们再抛了。这个世界，有很多数学家抛了几千几万次硬币，并把结果记录了下来。结果显示，当抛了成千上万次后，硬币正面朝上的频率确实会非常接近于50%。也就是说，大量的试验证明，频率法是靠谱的。
他们枯燥的、一次又一次地抛硬币，并记录结果，就是为了验证频率法和定义法，并给这些所谓的“显而易见的结论”建立信心。每当看到这些乏味的数字的记录，我都能鲜活地感受到他们对探索这个世界的满满的热情。
频率法在数学上被证明
当然，抛去这种对他们热情的感动，以数学的视角来看，试验结果再怎么和我们的猜测一致，也仅仅是经验，它怎么就能证明频率法一定正确呢？
我们抛几千、几万次是这样，但会不会是有特殊情况没有遇到呢？万一抛几十万、几百万次就不是这样了呢？退一步说，就算频率法对抛硬币有效，它对其他随机事件的概率也有效吗？
这可不行。数学要的不是经验，而是完完全全的证明。数学和很多学科最大的差异，也正在于此。
你兴致勃勃地说你用10000个试验验证了你的猜测，数学家往往会很冷静的杠一句：“你能证明吗？”
比如，你观察到“两点之间直线最短”，但你能保证所有的两点之间，都是直线的距离最短吗？这些问题靠有限的试验回答不了，而只能靠证明，靠逻辑推演。数学证明才是数学意义上的确信。现在你大概明白，为什么数学皇冠上的明珠往往都是对那些伟大猜想的证明了吧？比如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。
当我们通过试验验证了频率法可行之后，一众数学家就出场了，他们确实通过数学上的证明，彻底证实了这个结论。
其中，第一个对频率和概率这个关系进行证明的，是雅各布·伯努利，一个十七世纪的瑞士数学家，也是那个时代最有才华的数学家之一。
记住这个名字，雅各布·伯努利，他花了20年的时间，证明了这个“不言自明”或者说“显而易见”的结论——随着试验数据不断累积，频率和概率的差距会越来越小。也就是说，只要重复的试验或者观测的数据足够多，随机事件发生的频率就会无限接近它的概率。这就是我们现在常说的“大数定律”。
证明过程我就不讲了，你需要知道的是：正因为在数学上证明了大数定律，我们才从根本上确认了用频率度量概率是合理的。换句话说，频率法是确定靠谱的。
再深入一点，大数定律也证明了：在相同环境、重复试验的条件下，用历史数据预测未来是可行的，也是合理的。这就是统计学的根基，也是很多使用统计学方法进行研究的学科的根基。
所以你看，大数定律是不是很重要？当年雅各布也意识到自己的证明很重要，所以将它称之为“黄金定理”。
“足够多”到底是多少
如果你认真听肯定会发现，我在说大数定律的时候，都会加一句限定——“重复的次数足够多、积累的数据足够多”。可问题是，“足够多”到底是多少呢？
事实上，大数定律是一个数学上“无限”的概念，类似于“无穷大”“无穷小”，是永远也无法触达的。在现实中，无限，臣妾真的做不到啊。
所以，为了让这么有用的大数定律在现实中真正发挥作用，就必须做一些限制条件，让需要重复的次数，或者采集的数据量变成有限的。
对于这个问题，数学家专门设置了两个概念：一个叫“精度误差”，另一个叫“置信度”。听着很高大上，但我一解释你就能明白。
大数定律告诉我们，数据或者试验越多，频率就会越接近概率。当然，只是接近，在真实概率上下浮动。这种浮动的范围就是“精度误差”。比如，前面那些数学家们抛硬币的结果，并不是刚好等于理想的50%，这个和理想值之间的差距，就是精度误差。假如你抛出正面朝上的频率是在47%-53%之间，那么精度误差就是+-3%。
针对这+-3%的误差率，我做100组试验，或者统计学上叫100组样本，如果有95组样本算出来的频率，正好在这个精度误差的范围之内，我们就称之为95%的“置信度”。
你现在不理解也没有关系，这两个都是统计学的概念。你只需要理解一点——通过这两个限定，容忍一定错误的发生，我们在用频率度量概率时，可以大幅减少试验的次数或者采集的数据量。
比如，99.9%的置信度和2%的精度误差，就可以把重复的次数从无限降低到7000次左右；如果把置信度下降到95%，重复次数可以降低到2500次左右；如果再放宽点标准，把精度误差从2%变成3%，试验次数可以下降到1000次左右。
今天，95%的置信度已经成为许多学科，比如经济学和医学的实际参考标准。民意调查也常常将95%的置信度和3%的精度误差结合在一起，选择调查人数。本质原因就是我们刚才说的，在保证实用性，也就是概率相对准确的情况下，大幅度降低试验或者样本采集的数量。
你看，当我们试图通过频率来测量概率的时候，数学上完全理想的效果是无法达到的。我们必须在保证概率的精度，和减少工作量之间进行取舍。
现实中，几乎所有的数据调查和统计结果，一方面，都是基于用频率来测量概率这个底层逻辑；另一方面，也都要进行相应程度的妥协。
划重点
1.频率法认为，概率就是对发生频率的计算。只要试验数量或者观测数据足够多，随机事件发生的频率就会接近它的概率。
2.大数定律不是基于试验的归纳，而是经过了严格的数学证明。
3.现实中使用频率法，往往无法获得无限多的数据，所以需要增加一些限定条件，来降低需要的数据量。
这一讲的思考题是：你最近遇到过要用频率度量的概率问题吗？这些度量有标注限定条件吗？
欢迎把你的想法写在留言区。
下节预告
下一讲，我们来详细看看大数定律这个概率论中的黄金定理。
我是刘嘉，我们下一讲再见。