概率论:从局部随机性到整体确定性
讲述者 | 刘嘉
你大概知道,北京奥运会主场馆是钢架密集的网络化连接,看起来就像个鸟巢。广州塔造型修长,动线旋转,所以被称为“小蛮腰”。
如果把概率论比作一座大厦,它的整体形态是什么样的呢?
一个现实的概率论问题
在回答这个问题之前,我先给你讲个概率故事。比如,你和女朋友一起看澳网男单决赛,费德勒对阵纳达尔,两个人势均力敌,普遍预测比赛结果55开。
你喜欢费德勒,网坛传奇,王者归来。可是,你女朋友不这么觉得,怎么看费德勒都是一个大叔,长得一般,打球好像也没那么劲爆,还是纳达尔好。你说费德勒技术全面,她说纳达尔长得帅;你说费德勒打法极具观赏性,她说纳达尔长得帅;你说费德勒优雅内敛,这就是网球运动的内在精神,她说纳达尔长得帅……你们谁也说服不了谁,就吵起来了。
薛兆丰老师在“阿罗不可能定理”中说,用钞票投票才是最好的选择。所以你们就说好赌一把,每人出100块钱,合起来200块。费德勒赢了冠军,这200块就归你;纳达尔赢了冠军,这200块就归你女朋友。
我们知道,网球决赛是五局三胜制,只要赢三局,就赢得了最终比赛。你们俩就一起看直播,打完第三局,费德勒2:1领先。结果这个时候,小区突然停电了。你们光顾着争论,手机也忘充电了。总之,没法知道比赛结果了。
现在问题来了:在这样的状况下,要想结束这个讨厌的赌局,这200块该怎么分呢?
各自拿走自己的100块吧?你不干,你的费德勒领先,赢面大。200块都归你?你女朋友不干,费德勒领先就一定赢吗?纳达尔也有翻盘的可能呢。按说,费德勒2:1领先,最后赢的可能性更大一些,你应该多分一点。这一点上,你们达成了共识。可是多分多少呢?你们又吵了起来。
概率论如何解决问题
如果我是你们的邻居,听到你们的争吵,我会过来劝架。你觉得我会怎么办?拿起小黑板,直接公式推演?那就想多了,学数学的不是你们想象的那样。
我当然会对你说:“让着你女朋友不就得了,要这么麻烦吗?200块,又不是200万。”
这时候你不干了:“让着我女朋友当然可以,但这不解决问题。如果不是网球比赛,而是你和合伙人清算公司、评估资产然后拆伙呢?是你和投资人计算投资份额和利益分配呢?是保险公司和再保险公司解决复杂的风险分担问题呢?这些说让就能让吗?当然要搞清楚、讲道理啊。”
好吧,那就讲道理。比赛没结束,什么可能都会发生,在这个当下,比赛结果是个不确定的事情。怎么算呢?概率论就是解决这样的问题的。我们来分析一下——
假设费德勒和纳达尔实力相当,每局都是55开,也就是说,两人每局获胜的可能性都是50%。一共5局,已经打完了3局,那后面2局就跟抛硬币一样。如果费德勒赢是正面,纳达尔赢是反面,可能的结果就只有四种——正正、正反、反正、反反。
其中,前三种结果都是费德勒最终赢得比赛,只有连续出现两次反面,也就是纳达尔连扳两局的情况下,他才能逆转获胜。
总之,后两局所有的四种可能中,有三种情况费德勒获胜,只有一种情况纳达尔获胜。所以,你应该分200元的3/4,也就是150元;而你女朋友应该分1/4,也就是50元。
我讲完了,你和你女朋友肯定都无话可说,这个争执算解决了。
现在,如果我们把这个问题深入一下:还是五局三胜,还是小区停电,只不过是在费德勒1:0领先的情况下停电了,这200块该怎么分呢?
一样的,我们还是全局看问题。把1:0后所有可能的结果列一下,看看有多少种结果是费德勒胜利,有多少种结果是纳达尔胜利。我直接说结果——还有4局比赛,一共有16种结果,在这16种结果中,费德勒11次获胜,纳达尔5次获胜。换句话说,你应该分200块的11/16,也就是68.75%。
除了用来分钱,这个百分比还可以代表什么呢?你肯定想到了,它就是费德勒1:0领先的时候,最终夺冠的概率。费德勒1:0领先的时候,最终夺冠的概率就是11/16,也就是68.75%;而2:1领先的时候,费德勒夺冠的概率是多少呢?刚才说了,3/4,也就是75%。你看,随着局势不断变换,他最终夺冠的概率也不断变化。
概率论解决问题的思维框架
上面虽然是我虚构的故事,但它却从本质上揭示了概率论解决问题的思维框架。
澳网决赛第四局谁会赢我不知道,最后谁都有可能拿冠军。这些事情就像,抛硬币我不知道下一把是正面还是反面,掷骰子我不知道下一把是什么数字,我不知道明天的股票会涨还是会跌,也不知道买的彩票会不会中奖一样。这些事情的结果都是随机的,是不可预测的,但在停电的这个当下,我们如何分这200块钱,却是确定无疑的。
概率论解决随机问题的本质,就是把局部的随机性转变为整体上的确定性。概率论的产生,让我们能对未来发生的随机的事情,做出数学上确定性的判断。这不仅是概率论的思想基石,也是概率论作为一种数学工具的基本思路。
正是基于这种整体的、全局性的思考框架,概率论才成为众多学科的基础。同样的,对很多生活中随机的事情,概率论也能帮我们做出确定性的判断。
在量子力学中,我们都知道那只和Hello Kitty齐名的薛定谔的猫,虽然我们不知道那只猫下一秒是生还是死,但它生死可能性的叠加态是确定的;对冲基金中,我们不知道明天会涨还是会跌,但在基金公司的模型里,套利收益的预期是确定的;买彩票时,我们不知道明天开奖的数字是什么,但彩票公司这期彩票的收益率是确定的。
或者一座城市,哪些家庭今天会要孩子、婴儿会在哪一刻诞生,这些都是随机的,但是从整体上来看,这座城市的出生率、每年新生儿的数量,却是大致确定的。
这就是概率论的全貌。可能会让你感到意外,概率论不是帮你预测下一秒会发生什么,而是为你刻画世界的整体确定性。某一次结果的随机,是低层次的事;而概率论,是高层次的、确定性的认知。
彩蛋时刻
最后,送给你个彩蛋:跟别人聊天时,怎么让人知道你是概率论的行家呢?
跟他说说概率论的起源。教你三个词——帕斯卡、16540729和赌金分配。
第一个词:帕斯卡
每个行业都有自己的祖师爷。要论概率论的祖师爷,排第一位的一定是帕斯卡。他和“费马大定理”的费马,一起发现了概率论。
帕斯卡是个神童。神到什么程度呢?他16岁写了一篇论文,证明了圆锥曲线内接六边形的三对边延长线的交点共线。记不住没关系,知道这个结论现在被称为“帕斯卡定理”就行了。19岁时,帕斯卡发明了现在我们用的计算器的前身——数字计算器。20来岁,提出了真空的假设,测量了气压随海拔变化而变化的规律。现在的气压单位“帕”,就是为了纪念他的贡献。
第二个词:16540729
这个数字,是很多人认为的概率论诞生的时间——1654年7月29日。为什么是这个日子?因为就在那天,帕斯卡给费马写了一封信,讨论了一个关于赌博的现实问题。因为这个问题,两个人又一来二去通了很多封信。
那个时候没有微信,否则他们应该能为科学做出更多贡献。至少费马会有地方写他那个“费马大定理”的证明过程,也不至于折腾世界上这么多聪明绝顶的数学家300多年了。
其实在同一时期,几乎所有知名的科学家都不约而同都卷入了对概率问题的讨论。在那个时候,科学家不知道具体什么时候会产生概率论这样一门学科,但概率论作为一门新鲜的数学,确实是呼之欲出的。
第三个词:赌金分配
帕斯卡和费马在信中讨论的是什么问题呢?就是“赌金分配”问题。也就是,如果赌博还在继续,双方该如何分钱呢?和我们今天说的,你和你女朋友看澳网打赌分钱的问题是一样的。
在概率论的历史上,这是一个奠基性的问题,也是被最广泛传播的问题。正是因为它的提出和被解决,概率论这门学科才正式诞生。
划重点
1.把局部的随机性转变为整体的确定性,是概率论解决问题的本质。
2.概率论不是用来预测未来,也不是对一次偶然的结果进行计算,它是更高层次的、确定性的认知。
3.概率论的大厦像什么?我更愿意说:概率论不是一栋建筑,而是一个城市。我可以不知道城市里每一栋建筑的样子,但我确定地知道这个城市的建筑模式。
最后,给你留一道思考题:
生活里,你还能举出哪些把局部随机性转变为整体确定性的例子呢?
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